Modelo de Bernoulli
Una base para explicar la distribución binomial es el Modelo de Bernoulli, el cual es más simple, porque solamente comprende el estudio de un experimento.
El modelo de Bernoulli se aplica a variables aleatorias que sólo pueden tener dos resultados o valores, como: hombre o mujer, sano o enfermo, defectuoso o no defectuoso, etc. A uno de los resultados se le llama éxito (E) y al otro fracaso (F) y las probabilidades de que ocurra cada valor se representan por 
y 
. Por facilidad, supongamos que los valores que toman los resultados son 1 y 0, por lo que la distribución de probabilidad respectiva es:
y . Por facilidad, supongamos que los valores que toman los resultados son 1 y 0, por lo que la distribución de probabilidad respectiva es:
X
|
1
|
0
|
f(x)
|
p
|
q
|
Debido a que solamente hay 2 posibles resultados y estos son mutuamente excluyentes, se cumple que 
, por lo que 
.
, por lo que .
La esperanza para esta función es:
Para obtener la variancia tenemos que:
y como:
entonces:
Ejemplo 5. 1. Suponga que el 95% de los refrescos de cierta marca se han llenado correctamente. Si se selecciona uno de ellos ¿Cuánto vale la esperanza y la variancia?
Solución.
Definamos la variable aleatoria X como refresco con llenado correcto. Representemos el llenado correcto con x = 1 y el llenado incorrecto con x = 0. Luego
Características de la Distribución Binomial
La distribución binomial puede considerarse como una generalización del modelo de Bernoulli, en donde el experimento se realiza n veces y se utiliza en experimentos o eventos que tienen las siguientes características:
a) Sólo hay 2 posibles resultados.
b) Los resultados son independientes
c) La probabilidad de éxito permanece constante en todas las veces que se realice el experimento.
d) El experimento se realiza n veces bajo las mismas condiciones y estamos interesados en que hayan x éxitos.
e) Cuando hay extracción de elementos, se debe realizar con reemplazo.
Una variable aleatoria que satisfaga los puntos anteriores, se dice que se distribuye en forma binomial.
Distribución de Probabilidad
Una situación como la descrita es posible ejemplificarla con el nacimiento de una camada de 4 cerdos, donde se registra el sexo de cada uno de ellos. Si llamamos éxito (E) al evento consistente en que uno de los cerdos sea hembra y fracaso (F) a que sea macho, es evidente que se tienen 4 repeticiones independientes de un experimento de Bernoulli, ya que el sexo de uno de ellos al nacer no afecta el sexo de los demás. También es claro que la probabilidad de que cualquiera de los 4 cerdos de la camada sea hembra es p. La variable aleatoria X, definida como el número de cerdos de sexo femenino, pueda tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4. El valor cero lo toma cuando los 4 cerdos son de sexo masculino; el valor 1 lo toma cuando uno de los 4 cerdos es hembra, etc. Los 24=16 resultados posibles del espacio muestral de X se listan enseguida, agrupados convenientemente.
Valores de X
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
Espacio Muestral
|
F, F, F, F
|
E, F, F, F
F, E, F, F
F, F, E, F
F, F, F, E
|
E, E, F, F
E, F, E, F
E, F, F, E
F, E, E, F
F, E, F, E
F, F, E, E
|
F, E, E, E
E, F, E, E
E, E, F E,
E, E, E, F
|
E, E, E, E
|
Número de
Resultados
|
1
|
4
|
6
|
4
|
1
|
Puede observarse que los resultados obtenidos están constituidas por 
cuando hay cero éxitos y 4 fracasos; 
para un éxito y 3 fracasos; 
para 2 éxitos y 2 fracasos y en general cuando hay x éxitos habrá 4 - x fracasos. Dada la independencia entre las repeticiones, la probabilidad de cada uno de los resultados es el producto de las probabilidades de los eventos que las componen. Así, por ejemplo:
cuando hay cero éxitos y 4 fracasos; para un éxito y 3 fracasos; para 2 éxitos y 2 fracasos y en general cuando hay x éxitos habrá 4 - x fracasos. Dada la independencia entre las repeticiones, la probabilidad de cada uno de los resultados es el producto de las probabilidades de los eventos que las componen. Así, por ejemplo:
P(F, F, F, F) = q q q q = q4
P(E, E, E, F) = p p p q = p3 q
de modo que una secuencia con x éxitos y 4-x fracasos tienen probabilidad px q4-x. Ahora, por ejemplo, el valor 
ocurre con cualquiera de cuatro sucesiones, los cuales constituyen eventos mutuamente excluyentes, de modo que:
ocurre con cualquiera de cuatro sucesiones, los cuales constituyen eventos mutuamente excluyentes, de modo que:
P(x = 3) = P(F, E, E, E) + P(E, F, E, E) + P(E, E, F, E) + P(E, E, E, F) = 4 p3 q
Similarmente pueden calcularse las demás probabilidades, obteniéndose:
X
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
P(X = x)
|
1 p0q4
|
4 p1q3
|
6 p2q2
|
4 p3q1
|
1 p4q0
|
Los coeficientes 1, 4, 6, 4 y 1 de la tabla, pueden obtenerse mediante el cálculo de las combinaciones de n elementos tomados de x a la vez (en este caso 
y 
, ya que:
y , ya que:
De modo que las probabilidades de X en el ejemplo pueden escribirse de la siguiente manera:
De acuerdo a lo anterior:
Una variable aleatoria X se distribuye de acuerdo con un modelo de probabilidad binomial, si su función de probabilidades es:
Por lo tanto, si se quiere calcular la probabilidad de tener exactamente x éxitos en n ensayos o intentos, se usa la expresión:
Es conveniente señalar que el éxito significa que se cumple la variable aleatoria en un ensayo.
Ejemplo 5. 2. Se presentan 10 estudiantes para hacer su solicitud de inscripción a una escuela. La probabilidad de que un alumno cualquiera llene la solicitud correctamente es 0.6. Si todos los alumnos llenan la solicitud de manera independiente ¿Cuál es la probabilidad de que 4 alumnos llenen la solicitud correctamente?
Solución.
En este problema se cumplen las condiciones a, b, c, d antes señaladas, por lo que puede resolverse usando el modelo binomial.
Definamos la variable aleatoria X como número de estudiantes que llenan correctamente la solicitud. Entonces tenemos que p = 0.6, q = 0.4 y n = 10, por lo que:
Ejemplo 5. 3. Se sabe que la probabilidad de acertar a un blanco con un rifle es 0.2. Si se disparan 5 balas independientemente ¿Cuál es la probabilidad de dar en el blanco 3 veces?
Solución.
Como el problema cumple con las condiciones a, b, c, d de la distribución binomial, podemos utilizar ese modelo para su solución.
En este caso p = 0.2, q = 0.8 y n = 5. Por lo tanto:
Ejemplo 5. 4. En un proceso de manufactura se producen fusibles eléctricos. El proceso es examinado cada hora, para lo cual se seleccionan con sustitución 10 fusibles al azar de la producción de la hora. Si uno o más de los 10 fusibles falla, el proceso es parado. La probabilidad de producir un fusible defectuoso es 0.1 y la calidad de los fusibles es independiente ¿Cuál es la probabilidad de que el proceso sea parado en un instante dado?
Solución.
En este caso se cumplen las condiciones a, b, c, d, e de la distribución binomial, lo que nos permite hacer uso de ella para la solución.
Los datos que se tienen son que p = 0.1, q = 0.9 y n = 10.
El problema señala que el proceso se para si uno o más de los fusibles es defectuoso, por lo que:
Debemos calcular P(x = 0).
P(x = 0) = 
En consecuencia: = 1 – 0.3487 = 0.6513
= 1 – 0.3487 = 0.6513
Función de Distribución Acumulada
Los parámetros de la distribución binomial son: n el número de repeticiones del experimento, x el número de éxitos que debe haber en las n ejecuciones del experimento y p la probabilidad de éxito en cada repetición. Si la variable aleatoria X tiene una distribución binomial, escribiremos B(n, x, p) para representar la función de distribución acumulada. En el anexo de tablas se presentan las probabilidades acumuladas de cualquier miembro de la familia binomial para diferentes valores de n y p, hasta un valor x de la variable aleatoria.
La función de distribución acumulada está definida por:
Por ejemplo, con los parámetros n = 10, p = 0.4 y x = 2, en la tablas se lee el valor 0.1672. Esto quiere decir que:
En el caso en que se quiera calcular la probabilidad de que se tengan x ó menos éxitos en n ensayos, se pueden utilizar dos procedimientos.
1. Se calcula la probabilidad individual de todos los valores que toma la variable aleatoria que son menores o iguales a x y se suman.
2. Se usa la función de distribución acumulada de la distribución binomial, que aparece en el anexo de tablas.
Ejemplo 5. 5. Refiriéndonos al problema en que se presentan 10 estudiantes para hacer su solicitud de inscripción a una escuela ¿Cuál es la probabilidad de que tres o menos estudiantes llenen correctamente la solicitud?
Solución.
Utilizando el procedimiento mediante el cual calculamos la probabilidad de cada uno de los valores que puede tomar la variable aleatoria, utilizando el modelo matemático de la distribución binomial tenemos:
Calculando probabilidades:
Por lo que:
0.0001+0.0016+0.0106+0.0425 = 0.0548
Utilizando la función de distribución acumulada mediante el uso de las tablas se tiene:
B(10, 3, 0.6) = 0.0548
En el caso de que se deseen calcular probabilidades de que X > x, se usa el concepto del complemento y queda en la forma siguiente:
Ejemplo 5. 6. Si en el problema ya descrito estamos interesados en calcular la probabilidad de que más de 8 estudiantes llenen correctamente la solicitud de inscripción.
Solución.
De acuerdo a las características del complemento:
También puede interesarnos obtener la probabilidad de que entre 4 y 8 estudiantes llenen correctamente la solicitud de inscripción. Entonces:
Ejemplo 5. 7. Un proceso de grabación de discos produce 20% de unidades defectuosas. Se seleccionan aleatoriamente y con reemplazo 8 discos y todos tienen la misma posibilidad de ser seleccionados. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) Haya ningún disco defectuoso?
b) Se encuentren 5 ó más discos defectuosos?.
Solución.
Sea X la variable aleatoria que representa el número de discos defectuosos. Podemos observar que el problema se distribuye en forma binomial con p = 0.2, q = 0.8 y n = 8.
a) La probabilidad de no encontrar discos defectuosos es:
b) La probabilidad de encontrar 5 ó más discos defectuosos es:
P(X ³ 5) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8)
P(X ³ 5) = 0.00918 + 0.00115 + 0.00008 + 0.00000 = 0.0104
También se puede calcular mediante la función de distribución acumulada usando el concepto del complemento.
Ejemplo 5. 8. Un estudiante va a presentar un examne de opción múltiple sin haber estudiado nada, por lo que sus respuestas las escogerá al azar. El examen tiene 10 preguntas y cada pregunta 5 opciones. Para aprobar se deben contestar bien cuando menos 6 preguntas ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen?.
Solución.
Sea X la variable aleatoria que representa el número de preguntas bien contestadas. De acuerdo a los datos del problema, la probabilidad de que un alumno conteste bien una pregunta cualquiera es p = 1/5 = 0.2, por lo que q = 0.8. También establece que n = 10. De acuerdo a la pregunta se puede establecer:
Ejemplo 5. 9. Se sabe que en cierta población únicamente el 20% de los compradores en tiendas de autoservicio no leen las etiquetas de precios antes de hacer la compra. Si 2 compradores entran a una tienda de autoservicio, construya la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X: compradores que no leen las etiquetas de precios antes de hacer la compra.
Solución.
El problema se apega a una distribución binomial con p = 0.2, q = 0.8 y n = 2. Los valores que puede tomar la variable aleatoria son 0, 1, 2, por lo que es necesario calcular sus probabilidades respectivas.
Ahora podemos escribir la distribución de probabilidad.
X = xi
|
0
|
1
|
2
|
f(xi)
|
0.64
|
0.32
|
0.04
|
Media y Variancia
Sean X1, X2,..., Xn variables aleatorias de Bernoulli. Si definimos la variable aleatoria X como el número de éxitos que se tienen en las n repeticiones, es claro que la nueva variable aleatoria es la suma de las n variables definidas previamente, es decir:
X = X1 + X2+...+ Xn
Donde cada Xi, tiene esperanza p y variancia pq, como se vio anteriormente. En base en ello, la esperanza de una variable que se distribuye binomialmente es:
E(X) = E(X1 + X2 + ... + Xn) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn) =
= np
= np
y la variancia:
V(X) = V(X1 + X2 + ... + Xn) = V(X1) + V(X2) + ... + V(Xn) = 
Por lo que podemos decir que:
La media y la variancia de una variable aleatoria X que tiene distribución binomial, con parámetros n y p son:
m = E(X) = np
s2 = V(X) = npq
Ejemplo 5. 10. Se sabe que el 75% de los trabajadores de una empresa son hombres. Si se seleccionan 30 trabajadores al azar con sustitución, encontrar la media y la variancia.
Solución.
En este caso n = 30, p = 0.75 y q = 0.25, por lo que:
m = E(X) = np = (30) (0.75) = 22.5
s2 = V(X) = npq = (30) (0.75) (0.25) = 5.625
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