Regresión lineal

Para otros usos de este término, véase Función lineal (desambiguación).

Ejemplo de una regresión lineal con una variable dependiente y una variable independiente.

En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modela la relación entre una variable dependiente Y, las variables independientes X_i y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:

$Descripción: Y_t = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \cdots +\beta_p X_p + \varepsilon$

: Variable dependiente, explicada o regresando.

$Descripción: X_1, X_2, \cdots, X_p$ : Variables explicativas, independientes o regresores.

$Descripción: \beta_0,\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_p$ : parámetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen sobre el regresando.

donde $Descripción: \beta_0$ es la intersección o término "constante", las $Descripción: \beta_i \ (i > 0)$ son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y

es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.

El modelo de regresión lineal[editar]

El modelo lineal relaciona la variable dependiente Y con K variables explicativas

(k = 1,...K), o cualquier transformación de éstas, que generan un hiperplano de parámetros $Descripción: \beta_k$ desconocidos:

(2) $Descripción: Y = \sum \beta_k X_k + \varepsilon$

donde $Descripción: \varepsilon$ es la perturbación aleatoria que recoge todos aquellos factores de la realidad no controlables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la que confiere al modelo su carácter estocástico. En el caso más sencillo, con una sola variable explicativa, el hiperplano es una recta:

(3) $Descripción: Y = \beta_1 + \beta_2 X_2 + \varepsilon$

El problema de la regresión consiste en elegir unos valores determinados para los parámetros desconocidos $Descripción: \beta_k$ , de modo que la ecuación quede completamente especificada. Para ello se necesita un conjunto de observaciones. En una observación cualquiera i-ésima (i= 1,... I) se registra el comportamiento simultáneo de la variable dependiente y las variables explicativas (las perturbaciones aleatorias se suponen no observables).

(4) $Descripción: Y_i = \sum \beta_k X_{ki} + \varepsilon_i$

Los valores escogidos como estimadores de los parámetros, $Descripción: \hat{\beta_k}$ , son los coeficientes de regresión, sin que se pueda garantizar que coinciden con parámetros reales del proceso generador. Por tanto, en